黎曼猜想 100万美元奖金的难题

　　1900 年，大数学家希尔伯特（Hilbert）在巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出了 23 个数学问题，它为整个二十世纪的数学发展指明了方向。时过境迁，值千禧年之际，美国克雷研究所提出了 7 个世纪性的数学难题，并慷慨地为每个问题设置了 100 万美元的奖金。

　　德国著名数学家希尔伯特（David Hilbert，1862~1943）

　　当我们回顾这次跨越时空的呼应时，却发现有一个共同的问题，并且已经伴随着数学家们走过了沧桑百年的历程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。

　　黎曼猜想究竟有何神奇之处，竟让如此多的数学家为此痴迷和魂牵梦绕？在它那里，又藏着怎样惊世骇俗的秘密？破译这样一个难题，真的会给数学和世界带来激动人心的改变吗？

　　质数探索

　　在自然数序列中，质数就是那些只能被 1 和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11 等等都是质数。4，6，8，9 等等都不是质数。由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。

　　人们对质数的兴趣可以追溯到古希腊时期，彼时欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数，但是对质数的分布规律却毫无头绪。随着研究的深入，人们愈发对行踪诡异的质数感到费解。这些特立独行的质数，在自然数的大海里不时抛头露面后，给千辛万苦抵达这里的人们留下惊叹后，又再次扬长而去。

　　1737 年，瑞士的天才数学家欧拉（Euler）发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。

　　沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。

　　横空出世

　　虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。

　　其时，年仅 33 岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。

　　没有人能预料到，这篇短短 8 页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。

　　黎曼 Zeta 函数

　　黎曼在文章里定义了一个函数，它被后世称为黎曼 Zeta 函数，Zeta 函数是关于s的函数，其具体的定义就是自然数n的负s次方，对n从 1 到无穷求和。因此，黎曼 Zeta 函数就是一个无穷级数的求和。然而，遗憾的是，当且仅当复数s的实部大于 1 时，这个无穷级数的求和才能收敛（收敛在这里指级数的加和总数小于无穷）。

　　为了研究 Zeta 函数的性质，黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓，将s存在的空间拓展为复数平面。

　　研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点，并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。

　　黎曼对解析延拓后的 Zeta 函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角 sin 函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是 Zeta 函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。

　　第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于 0 但是小于 1 的带状区域上。

　　第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2 的直线上。

　　第三个命题，黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2 的直线上。这条线，从此被称为临界线。而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。

　　有人曾经问希尔伯特，如果 500 年后能重回人间，他最希望了解的事情是什么？希尔伯特回答说：我想知道，黎曼猜想解决了没有。美国数学家蒙哥马利（Montgomery）曾经也表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。黎曼猜想，俨然就是真理的宇宙里，数学家心目中那颗最璀璨的明星。

　　黎曼的三个命题

　　短短八页的论文里，黎曼给后人留下了卓绝非凡的智慧和思想，也为后世留下了魅力无穷的谜团。文章里的证明因为篇幅限制而多被省略，吝惜笔墨的黎曼却让身后数百年的数学大家费尽心思、相形见绌。这篇格局宏大、视野开阔的论文站在了时代的最前沿，其高瞻远瞩的目光和魄力直到今日仍然指引着主流数学界的方向。

　　在第一个命题的某一步证明里，黎曼用轻松的语气写道：这是不言而喻的普适性的结果。但就是这样一个似乎不值一提的结果，却花费了后人 40 年的时间苦苦探索。芬兰数学家梅林因为在这一小步上的贡献而名垂青史。此后，在黎曼眼中一笔带过的第一命题最终才由德国数学家蒙戈尔特（Mangoldt）在 46 年后给出完整的证明。

　　针对第二命题，黎曼用了相当肯定的语气指出其正确性。遗憾的是，他没有给出任何证明的线索，只是在与朋友的一封通信里提及：命题的证明还没有简化到可以发表的程度。然而黎曼毕竟高估了读者的能力，第二个命题犹如一座巍峨的大山压在了后世数学家的心中，直到今天也踹不过气来。一个半世纪过去了，人们还在为寻找第二命题的证明而陷入深思，似乎丝毫找不到破解它的希望。

　　更让人们绝望的是，黎曼在论及第三命题时，破天荒地没有使用肯定的语气，而是谨慎地说道：这很有可能是正确的结论。作为复变函数功彪千古的大师，黎曼此时也失去了信心，只能借助试探的口吻表达自己的观点。也正是这个让黎曼犹豫而止步的命题，终成了数学史上最为壮美险峻的奇峰。

　　有人曾经质疑黎曼是否真的证明了第一和第二命题，他随意写下的结论仅仅是重复法国数学家费马（Fermat）曾经的覆辙：把错误的想法当成了真理。

　　1637 年，爱好数学的大法官费马在一本书的页边写下了他对一个问题的看法：他发现了一个简洁的证明，但是由于纸张太小无法写下来。这就是被后世称为费马猜想的问题，其完整的证明直到 358 年后的 1995 年才由英国数学家怀尔斯借助最艰深的现代工具所完成。

　　但是，人们很快打消了疑虑。从黎曼遗留下来的部分草稿来看，他的数学思想和功力已经远远超越同时代的数学家。即使是几十年后被陆续发现的手稿中体现出来的能力水平，也让当时的数学家难以望其项背。因此，人们有理由相信，这是一个伟大数学家的自信和坦然。

　　尽管黎曼猜想成立与否不得而知，数学家们还是倾向于它的正确性。一个半世纪以来，人们在假设黎曼猜想成立的情况下，以它作为基石，已经建立了一千多条定理，并且打造了无比辉煌的数论大厦。然而一旦黎曼猜想找到反例被证伪，这些精美的大楼就会如空中楼阁一样昙花一现，最终崩塌，给数论带来灾难性的结果。

　　质数分布规律

　　质数作为一类特殊的整数，任性而古怪，它们悄悄地隐藏在浩浩荡荡的自然数列里，以自己独有的奔放奏出魅力四射的音符。这曲神秘的质数音律，不知让多少追寻真理呼唤的人为之陶醉，为之倾注毕生精力，只为找到质数起舞的脚步和节拍。

　　遗憾的是，骄傲的质数们都是孤独的行者，在数千年的时光里静静地等待着能读懂它的真命天子。从欧拉（Euler）开始，人们终于得以在无边无际的整数世界里一瞥质数的浮光掠影。

　　黎曼（Riemann）一举揭示了质数最深处的秘密，优雅地给出了质数分布的精确表达式。人们第一次能够近距离窥视质数们在自然界跳舞的规律，是那样的豪放与不羁，平静时如温柔的月光洒在无波的大海，奔腾时又如滔天巨浪倾泻在一叶孤舟，让人爱恨交织、目驰神移。

　　然而，质数并不是完全随性而为，它的表现始终臣服在黎曼 Zeta 函数零点的分布规律上。因此，破译黎曼猜想就等于完全确定了质数跳舞的规律和秩序，无疑将开启数论中最激动人心的篇章。也因此，黎曼猜想成了无数人心目中梦想征服的珠穆朗玛峰。登上这座高峰的勇士，也将和历史上最伟大的名字连接在一起，成为后人敬仰和追随的英雄。

　　在黎曼的时代，质数定理虽然经由高斯（Gauss）和勒让德（Legendre）提出，但却是未经证实的猜想。它让最捉摸不定的质数在阳光下现出了踪迹。当时最杰出的数学大师也为此倾心，试图证明质数定理。

　　解决质数定理

　　在黎曼提出的第一个命题里，数学家很容易证明 Zeta 函数的零点位于实部不小于0，不大于 1 的带状区域上，但是无法排除实部等于 0 和 1 的两条直线。令人惊喜的是，人们很快发现如果能证明黎曼眼中显而易见的第一命题中的某一关键结论，则可以直接证明质数定理。

　　在黎曼提交论文的 36 年后，数学家哈达玛（Hadamard）等人不负众望，终于证明了该结论，也顺带解决了质数定理，从而完成了自高斯以来众多数学大师的心愿。

　　然而黎曼在第一命题里所轻松描述的全部结论，直到 46 年后的 1905 年才由蒙戈尔特（Mangoldt）完成。

　　黎曼猜想的一个小小命题里就蕴含着如此巨大的能量，自此以后，数学家把注意力都集中到了黎曼猜想的攻坚上来。

　　于是，1900 年的巴黎，希尔伯特（Hilbert）代表数学界提出了 23 个影响深远的问题，黎曼猜想作为第 8 个问题的一部分而被世人所知。百年轮回，时至今日，23 个问题中已经有 19 个确定解决，还有 3 个部分解决。黎曼猜想依然如巍峨的奇山，矗立在人类的智力巅峰之上。

　　鉴于黎曼猜想的巨大难度，人们无法一步征服如此雄伟的山峰，只能在山脚和山腰寻找攀登的线索。一批数学家另辟蹊径，不再驻足于寻求黎曼猜想的证明上，而是去计算黎曼猜想的零点。如果一旦发现某一个零点并不位于实部是 0.5 的直线上，这就等价于找到一个反例，从而证实黎曼猜想并不成立。

　　1903 年，丹麦数学家第一次算出了前 15 个非平凡零点的具体数值。在黎曼猜想公布 44 年后，人们终于看到了零点的模样。毫无意外的是，这些零点的实部全部都是 0.5。

　　1925 年，李特尔伍德（Littlewood）和哈代（Hardy）改进了计算方法，算出前 138 个零点，这基本达到了人类计算能力的极限。

　　过于庞大的计算量，让后人放弃了继续寻找零点的努力。而为了选择更多的非平凡零点，人们还在黑暗中苦苦摸索。没想到，这一次，曙光来自于黎曼的遗稿。

　　手稿里的智慧遗产

　　随着证明黎曼猜想的努力付诸东流，而计算零点的可能也趋于渺茫，数学家陷入了漫长的痛苦期，以至于他们终于开始怀疑黎曼猜想不过是他直觉的猜测，而并没有实际的计算证据。

　　黎曼时代的数学家喜欢发表他们认为已经成熟的学术成果，而对探索中的理论讳莫如深。因此，很多数学家公开发表的成果只是他们做研究的极小一部分，许多价值连城的远见并没有对外公布。

　　这方面，高斯（Gauss）是一个典型。在 1898 年公布的高斯科学日记里，人们才发现，他的很多思想和成果已经遥遥领先那个时代，但是却因为没有发表而让后世的数学家走了很多弯路。

　　比如，椭圆函数双周期性理论的结果直到 100 年后才被后人重新发现。同时，高斯也最早意识到了非欧几何的存在。这样的例子比比皆是。

　　人们只能从高斯的稿件和信件中去寻找那些依旧蒙尘却隐匿着科学巨匠光辉的成果。

　　因此，在黎曼猜想面前灰头土脸的数学家把目光投向了黎曼的手稿。遗憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞见的手稿在他去世后被管家付诸一炬，从此人们失去了近距离了解黎曼进行科学思考和创作的机会，也让他卓绝非凡的智慧结晶失去了传承。

　　黎曼的妻子侥幸抢救出了一小部分手稿，并把它赠送给了黎曼生前的好友戴德金。后来，她担心手稿里可能有黎曼与她的私人信件，又将大部分手稿索回。这些残留的珍贵手稿，最后经由戴德金献给了哥廷根大学图书馆。这也成了黎曼留给后人的珍贵遗产。

　　很多慕名前去的数学家希望从黎曼的手稿里得到启发，但是，这些手稿太过艰深晦涩，人们止步于此，无法读懂黎曼在天马行空的字里行间所展示出的才能。一代数学大师的遗物，在为将来破译它的人牢牢地守护着秘密。

　　零点计算的推进

　　1932 年，德国数学家西格尔（Siegel）终于在历经两年的苦苦钻研后，从黎曼的手稿里找到了关键的证据。正是这一证据表明，黎曼对他提出的三个命题有过极其深刻的思考和计算。

　　西格尔在手稿里发现了黎曼当年随手写下的公式，这个公式今天被称为黎曼-西格尔公式。西格尔也因为让黎曼的公式重现天日而最终获得了菲尔兹奖。

　　有些数学家甚至认为：如果不是西格尔发现了这个公式，时至今日，它会像埋入沙漠深处的宝藏，再难被后人重新发现。西格尔写下这个公式的那天，距离黎曼在手稿里留下这份遗产已经过去了 73 年。

　　黎曼-西格尔公式很快发挥了其巨大的威力，基于这一公式，人们可以很轻松地继续推进零点的计算。

　　哈代（Hardy）的学生利用西格尔公式把非平凡零点的个数计算到了 1041 个，人工智能之父图灵推进到了 1104 个。此后的几十年，在计算机的辅助下，人们继续了零点计算的接力赛。

　　1966 年，非平凡零点已经验证到了 350 万个。20 年后，计算机已经能够算出 Zeta 函数前 15 亿个非平凡零点，这些零点无一例外地都满足黎曼猜想。2004 年，这一记录达到了 8500 亿。最新的成果是法国团队用改进的算法，将黎曼 Zeta 函数的零点计算出了前 10 万亿个，仍然没有发现反例。

　　十万亿个饱含着激情和努力的证据再次坚定了人们对黎曼猜想的信心。然而，黎曼 Zeta 函数毕竟有无穷多个零点，十万亿和无穷大比起来，仍然只是沧海一粟。黎曼猜想的未来在哪里，人们一片茫然，不得而知。与此同时，试图证明黎曼猜想的人们也传来了佳音。

　　零点的临界线

　　数学家哈代（Hardy，1877 年-1947 年），他证明了黎曼 Zeta 函数的零点的临界线，这是针对黎曼猜想的一个重大突破

　　英国数学家哈代首先证明 Zeta 函数的零点有无穷多个都位于实部是 0.5 的直线上。这是一个无比震惊的重大突破。在此之前，人们甚至不知道零点的个数是否有限，而哈代的结果则是直接告诉人们，零点的个数不仅是无穷的，而且还有无穷多个零点都位于这条临界线上。但是遗憾的是，人们并不知道临界线外是否存在非平凡零点。

　　随后，挪威数学家塞尔伯格（Selberg）证明了临界线上的零点个数占全部非平凡零点个数的比例大于零，这意味着临界线上的零点在全部零点的分布中举足轻重。

　　进一步，美国数学家莱文森（Levinson）引入了独特的方法，证明临界线的零点占全部零点的比例达到了 34.74%。

　　基于莱文森的技巧，美国数学家康瑞（Conrey）在 1989 年把比例推进到了 40%，这也是迄今为止得到的最好结果。

　　物理世界的奇遇

　　在理论和计算的突破猛进下，人们开始关注零点在临界线上的分布规律。数学家蒙哥马利（Montgomery）发现零点分布的规律竟然和孪生质数对在数轴上的分布规律类似。受此启发，他写下了一个关联函数来描述这种规律。令人惊奇的是，该函数描述的理论结果和实际计算结果几乎完美地吻合。

　　蒙哥马利隐约觉得这背后隐藏着巨大的秘密，却又百思不得其解。带着这一疑问，他在 1972 年访问了普林斯顿高等研究院。

　　在下午茶的阶段，他偶遇了物理学家戴森（Dyson）。由于彼此研究领域的巨大差异，两人只是礼貌地寒暄了一下。戴森随口问问蒙哥马利研究的课题。他将心中的困惑全盘托出，这差点惊掉了戴森的下巴。原来，让蒙哥马利云里雾里的关联函数正是戴森研究二十年的成果——这不是别的，正是一类随机厄密矩阵本征值的对关联函数。这是一个描述多粒子系统在相互作用下，能级分布规律的函数。

　　一边是纯数学的黎曼猜想，它关乎的仅仅是一个 Zeta 函数非零点分布这样最纯碎的数学性质，揭示的是质数在自然数序列里优雅的舞姿和节奏。另一边，却是最现实的物理世界，它连接着量子体系、无序介质和神经网络等等经典的混沌系统。

　　理论和现实在这里交汇，在封闭的世界里独自发展了两千多年后，作为数学最主要的分支——数论终于将触角探及真实的时空。时至今日，人们对此呈现出的种种不可思议的关联仍然感到匪夷所思。

　　数学理论照进现实

　　进入二十一世纪，越来越多的数学理论成果开枝散叶，很多早期被认为无用之用的分支，今日早已经成为现代科技最强有力的工具，为现代科技的发展推波助澜。

　　曾经被人们束之高阁而偏安一隅的数学研究正化作人们手中的利器，在探索物质世界的途中披荆斩棘，更为人们提供越来越多的思想动力和创造的源泉。

　　微积分的诞生开启了牛顿机械宇宙观的宏伟时代。人们惊奇地发现：普天之下，莫非王土，原来物理世界并不神秘，也并无不同，即使隐匿在宇宙深空的天体，其运动的规律都臣服在人类制定的法则之下。自此之后，牛顿力学开始大放异彩，基于其原理所发明的蒸汽机和发动机更是直接点燃了第一次工业革命的烈火。

　　我们今日所享受的信息时代的文明，诸如电脑芯片和万维网都深深地受益于量子力学的发展。这门彻底改变人们生活的科学，却源自于很多数学基础理论的馈赠，从线性代数、矩阵分析、统计学起，到数学家们为了解决五次方程求解问题而发明的群论等等。

　　基于广义相对论，人们发明了突破地球引力约束的卫星。这使得天地通讯成为可能，也为深空探测、陆海导航打下了基础。人们日益频繁的出行，基于地理位置的 GPS 导航等等都在为我们的生活提供前所未有的便利。让爱因斯坦流芳千古的广义相对论，其数学原理正是非欧几何（特别是黎曼几何）和张量分析的应用。

　　自 80 年代末期，在物理理论中一枝独秀的弦论，因为其大胆和前卫的想法，深受彼时科学家的青睐。这个有望解决相对论和量子力学的大一统理论，已经逐渐在主流科学界激起千层巨浪。弦论蓬勃发展的道路上，我们不难看到微分几何坚定的背影。

　　2016 年，三位物理学家分享了最高的荣誉——诺贝尔奖。他们因发现了物质拓扑相和在拓扑相变理论上的突出贡献而获奖。数学上艰深抽象的拓扑理论第一次也找到了用武之地。

　　物理学家用这个工具在理论上预测了一种特殊材质的存在，在它身上，人们能观测到匪夷所思的反常量子霍尔效应。基于该效应发现的材料，能够在常温下、无需超强磁场的协助就能自发在某个方向上呈现电阻为零的特性。这让计算机芯片的发展有了无限广袤的空间，从此量子计算机和微型超级计算机的梦想距离我们又近了一大步。

　　数论：待开垦之地

　　数学的各大分支都在默默地为前沿科学提供精妙绝伦的应用。遗憾的是，有一门分支陪伴人类走过漫漫两千多年真理探寻的艰辛旅途，却还在其封闭的理论王国里孤芳自赏。作为数学家们最悠久和最忠实的伙伴，不离不弃，它就是数论。

　　这个数学中最大的分支已经积累了无数深邃的理论成就，当今科技能受益于数论的成果不过就是隐秘在水下的冰山一角。人们都期待着，有朝一日，当冰山融化时，数论的硕果能惠及每一个后世子孙。破冰的希望，很可能就是处于群山之巅的黎曼猜想。

　　黎曼猜想，只是数论研究里万千瑰丽中的一朵。人们也期盼着，从它和现实世界那让人千丝万缕的关联中，能找到打开果园的钥匙，让世界从此弥漫着果实的芬芳。

　　黄逸文(中国科学院数学与系统科学研究院)