一
2000 年 5 月 24 日， 美国克雷数学研究所 (Clay Mathematics Institute) 在法国巴黎召开了一次数学会议。 在会议上， 与会者们列出了七个数学难题， 并作出了一个颇具轰动性的决定： 为每个难题设立 100 万美元的巨额奖金。 距此次会议 100 年前的 1900 年， 也是在巴黎， 也是在一次数学会议上， 一位名叫希尔伯特 (David Hilbert) 的德国数学大师也列出了一系列数学难题。 那些难题一分钱的奖金都没有， 但对后世的数学发展产生了深远影响。 这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外， 还有一个共同之处， 那就是在所列出的难题之中， 有一个——并且只有一个——是共同的。
那个难题就是 “黎曼猜想” (Riemann hypothesis)。
黎曼猜想顾名思义， 是由一位名叫黎曼 (Bernhard Riemann) 的数学家提出的， 那位数学家于 1826 年出生在如今属于德国， 当时属于汉诺威王国 (Kingdom of Hanover) 的一座名叫布列斯伦茨 (Breselenz) 的小镇。 1859 年， 黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。 作为对这一崇高荣誉的回报， 他向柏林科学院提交了一篇题为 “论小于给定数值的素数个数” 的论文。 那篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的 “诞生地”。
黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题， 那就是素数的分布。 素数是像 2、 5、 19、 137 那样除了 1 和自身以外不能被其它正整数整除的数。 这些数在数论研究中有着极大的重要性， 因为所有大于 1 的正整数都可以表示成它们的乘积。 从某种意义上讲， 它们在数论中的地位类似于构筑万物的原子在物理世界中的地位。 素数的定义简单得可以在中学、 甚至小学课上进行讲授， 但它们的分布却奥妙得异乎寻常， 数学家们付出了极大的心力， 却迄今未能彻底了解。 黎曼那篇论文的一个重大成果， 就是发现素数分布的奥秘完全蕴藏了在一个特殊的函数之中——尤其是， 使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。 那个函数如今被称为黎曼 ζ 函数， 那一系列特殊的点则被称为黎曼 ζ 函数的非平凡零点 (下文中有时将简称其为零点)。
有意思的是， 黎曼那篇论文的成果虽然重大， 文字却极为简练， 甚至简练得有些过分， 因为它包括了很多 “证明从略” 的地方。 而要命的是， “证明从略” 原本是该用来省略那些显而易见的证明的， 黎曼的论文却并非如此， 他那些 “证明从略” 的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全， 有些甚至直到今天仍是空白。
黎曼为什么要把那么多并非显而易见的证明从略呢？ 我们无法确知， 也许是因为它们对于他来说确实是显而易见的， 也许是因为不想花太多时间来撰写文章。 但有一点基本可以确定， 那就是他的 “证明从略” 绝不是类似于调皮学生蒙混考试的做法， 而且很可能也并不是把错误证明当成正确的盲目乐观——后者在数学史上不乏先例， 比如法国数学家费马 (Pierre de Fermat) 在写下费马猜想时所表示的 “我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来” 就基本已被数学界认定是把错误证明当成正确的盲目乐观。 因为人们后来从黎曼的手稿中发现他对许多论文中从略了的证明是做过扎实研究的， 而且那些研究的水平之高， 甚至在隔了几十年之后被整理出来时， 有时也仍具有极大的领先性。
但黎曼的论文在为数不少的 “证明从略” 之外， 却引人注目地包含了一个他明确承认自己无法证明的命题， 那个命题就是黎曼猜想。
那么， 黎曼猜想究竟是一个什么猜想呢？ 简单地说， 是一个关于我们前面提到的， 对素数分布的细致规律有着决定性影响的黎曼 ζ 函数的非平凡零点的猜想。 关于那些非平凡零点， 容易证明的结果只有一个， 那就是它们都分布在一个带状区域上， 但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多， 他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上， 这就是所谓的黎曼猜想。 而这条被猜测为包含黎曼 ζ 函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。
二
黎曼猜想自 1859 年 “诞生” 以来， 已经过了一百五十多个春秋。 在这期间， 它就像一座巍峨的山峰， 吸引了无数数学家前去攀登， 却谁也没能登顶。 当然， 如果仅从时间上比较的话， 黎曼猜想的这个纪录跟费马猜想时隔三个半世纪以上才被解决， 以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上仍屹立不倒相比， 还差得很远。 但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。 有人统计过， 在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想 (或其推广形式) 的成立为前提。 这意味着： 如果黎曼猜想及其推广形式被证明， 所有那些数学命题就全都可以荣升为定理； 反之， 如果黎曼猜想被否证， 则那些数学命题中起码有一部分恐将成为陪葬。 一个数学猜想与为数如此众多的数学命题的命运息息相关， 是极为罕有的。
不过， 数学家们攀登黎曼猜想这座巍峨山峰的努力虽迄今未能取得完全成功， 在这过程中却也取得了一些阶段性成果， 好比是扎下了几座营寨。
这其中第一个阶段性成果出现在黎曼猜想问世 37 年后的 1896 年。 我们在前面提到过， 关于黎曼 ζ 函数的非平凡零点， 容易证明的结果只有一个， 那就是它们都分布在一个带状区域上。 那个阶段性成果是什么呢？ 就是将那个带状区域的边界剔除掉了——也就是说， 黎曼 ζ 函数的非平凡零点只分布在那个带状区域的内部， 而不包括边界。 这个成果是由法国数学家哈达玛 (Jacques Hadamard) 与比利时数学家普森 (Charles de la Vallée-Poussin) 彼此独立地取得的。
粗看起来， 这似乎是很微不足道的成果， 一个带状区域的边界跟它的内部相比， 从面积上讲比例实际上是零。 但是别小看了这个成果， 它对于研究黎曼猜想来说只是一小步， 对于研究另一个数学猜想来说却是巨大的飞跃， 因为它直接导致了后者的证明。 那个数学猜想如今已被称为素数定理 (prime number theorem)， 它所描述的是素数的大范围分布规律。 素数定理自被提出以来悬而未决已超过一百年， 在当时乃是一个比黎曼猜想更令数学界期待的东西。
在上述成果之后又隔了 18 年， 1914 年， 丹麦数学家玻尔 (Harald Bohr) 与德国数学家兰道 (Edmund Landau) 取得了另一个阶段性成果， 那就是证明了黎曼 ζ 函数的非平凡零点倾向于 “紧密团结” 在临界线的周围。 这个结果用数学语言来说， 就是包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼 ζ 函数的几乎所有的非平凡零点。 不过 “紧密团结” 归 “紧密团结”， 这一结果却不足以证明任何一个零点恰好就在临界线上， 因此它距离黎曼猜想的要求仍然相差很远。
但就在那同一年， 另一个阶段性成果出现了： 英国数学家哈代 (Godfrey Hardy) 终于将 “红旗” 插上了临界线——他证明了黎曼 ζ 函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。 粗看起来， 这似乎是一个非同小可的结果， 因为黎曼 ζ 函数的非平凡零点总共就是无穷多个， 而哈代证明了有无穷多个零点位于临界线上， 从字面上看， 两者已经一模一样了。 可惜的是， “无穷” 乃是数学中一个很微妙的概念， 同样是无穷， 彼此却未必是一回事， 不仅未必是一回事， 简直可以要差多远就差多远， 甚至差无穷远！ 因此， 为了知道哈代的结果离黎曼猜想的要求还有多远， 我们需要更具体的结果。
那样的具体结果出现在 7 年后的 1921 年。 那一年， 哈代与英国数学家李特伍德 (John Littlewood) 合作， 对自己 7 年前那个结果中的 “无穷” 做出了具体估计。 那么， 按照他们的具体估计， 那已被证明为位于临界线上的 “无穷多个非平凡零点” 跟全部非平凡零点相比， 究竟占多大的百分比呢？ 答案可能沮丧得出乎读者们的意料： 百分之零！
数学家们将这个百分比推进到一个大于零的数字是在 21 年后的 1942 年。 那一年， 挪威数学家赛尔伯格 (Atle Selberg) 终于证明了这个百分比大于零。 赛尔伯格做出这项成果时正值第二次世界大战的硝烟在欧洲各地弥漫， 他所在的挪威奥斯陆大学几乎成了一座孤岛， 连数学期刊都无法送达。 但赛尔伯格并不在乎， 他表示 “这就像处在一座监狱里， 你与世隔绝了， 但你显然有机会把注意力集中在自己的想法上， 而不会因其他人的所作所为而分心， 从这个意义上讲我觉得那种情形对于我的研究来说有许多有利的方面”。 赛尔伯格很好地利用了那 “许多有利的方面”， 孤独地进行着 “一个人的战斗”， 并最终取得了成果， 他的成果是如此显著， 以至于玻尔在战后曾戏称说战时整个欧洲的数学新闻可以归结为一个词， 那就是： 赛尔伯格。
不过赛尔伯格虽然证明了那个百分比大于零， 却并没有在论文中给出具体数值。 在赛尔伯格之后， 数学家们开始对这一比例的具体数值进行研究， 其中以美国数学家列文森 (Norman Levinson) 的成果最为显著， 他证明了至少有 34% 的零点位于临界线上。 列文森取得这一成果是在 1974 年， 那时他已年过花甲， 并且行将走到生命的尽头 (他第二年就去世了)， 却依然顽强地从事着数学研究。 在列文森之后， 这方面的推进变得十分缓慢， 几位数学家费尽九牛二虎之力也只能在百分比的第二位数字上做文章， 其中包括中国数学家楼世拓与姚琦 (他们于 1980 年证明了至少有 35% 的零点位于临界线上)。 直到 1989 年， 才有人撼动百分比的第一位数字： 美国数学家康瑞 (Brian Conrey) 证明了至少有 40% 的零点位于临界线上。 这也是这方面——并且也是整个黎曼猜想研究中——最强的结果之一， 这方面的努力仍在继续。
另外值得一提的是， “黎曼猜想” 这一金字招牌后来被推而广之， 用来表示一些 “山寨版” 和 “豪华版” 的猜想。 那些猜想为什么能跟黎曼猜想共享招牌呢？ 因为它们跟黎曼猜想有极大的相似性， 比如都有一个跟黎曼 ζ 函数相类似的函数， 那个函数具有与黎曼 ζ 函数相类似的性质， 等等。 在那些猜想中， “豪华版” 黎曼猜想乃是一些比黎曼猜想更强的猜想 (即上文提到过的黎曼猜想的推广形式)， 它们跟黎曼猜想一样， 迄今尚未得到证明 (这是显然的， 否则的话黎曼猜想作为其特例也就被证明了)； “山寨版” 黎曼猜想则是跟黎曼猜想有相似性却互不包含的猜想， 它们已全部得到了证明， 而且撇开我们所取不中听的绰号不论， 它们的证明乃是数学上的重大成果， 既催生过新数学方法的诞生， 也为证明者摘取过数学界的最高奖——菲尔茨奖 (Fields medal)。 而且， “山寨版” 黎曼猜想作为唯一挂着黎曼猜想这一金字招牌却被证明了的猜想， 曾使人们对久攻不下的黎曼猜想也一度乐观起来。 可惜它山之石， 并不总是可以攻玉的。 从目前的情况来看， “山寨版” 黎曼猜想就只能在 “山寨” 里玩玩， 它们的证明虽然重要， 对于解决真正的黎曼猜想却并无实质性的启示。
三
聊了这么多关于黎曼猜想的研究成果， 我们稍稍换换口味， 来聊一些数学家的故事吧。 也许在很多人眼里， 数学是一门很枯燥的学问， 数学家们则是一群性格乏味的怪人。 但实际上， 富有智慧的人往往是不会真正乏味的， 数学家们也是如此， 他们在埋头演算的勤恳之外， 也给我们留下了许多独特的幽默。
匈牙利数学家波利亚 (George Pólya) 曾经讲过一个跟黎曼猜想有关的小故事， 故事的主角就是我们前面提到过的英国数学家哈代与丹麦数学家玻尔。 这两位在黎曼猜想研究中作出过成果的数学家当然都对黎曼猜想怀有浓厚的兴趣。 有一段时间， 哈代常常利用假期访问玻尔， 一起讨论黎曼猜想， 直到假期将尽才匆匆赶回英国。 结果有一次， 当哈代又必须匆匆赶回英国时， 很不幸地发现码头上只剩下一条小船可以乘坐了。 从丹麦到英国要跨越几百公里宽的北海 (North Sea)， 在大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情， 弄不好就得葬身鱼腹。 为了旅途的平安， 信奉上帝的乘客们大都忙着祈求上帝的保佑。 哈代却是一个坚决不信上帝的人， 非但不信， 甚至还蓄意跟上帝作对： 把向大众证明上帝不存在列入自己某一年的年度心愿之一。 不过在那生死攸关的旅程面前哈代也没闲着， 他给玻尔发去了一张简短的明信片， 上面只写了一句话： “我已经证明了黎曼猜想”。 哈代果真证明了黎曼猜想吗？ 当然不是。 他为什么要发这么一张忽悠同事的明信片呢？ 当他平安抵达英国后他向玻尔解释了原因。 他说如果那次他所乘坐的小船果真沉没了的话， 那句话就会变得死无对证， 人们就只好相信他确实证明了黎曼猜想。 可是他知道上帝是绝不会甘心让他这样一个坚决不信上帝的人获得如此巨大的荣誉的， 因此它一定不会让小船沉没的。
哈代凭借自己的幽默成为了故事主角， 有些数学家则是因为其他数学家的幽默而被动地成为了故事主角， 我们前面提到过的法国数学家哈达玛与比利时数学家普森就是如此。 这两人成为主角的原因大家恐怕是猜不到的， 那是因为他们的长寿： 哈达玛享年 98 岁， 普森活到 96 岁。 这两个令人眼红的岁数不知从何时起引发了一个传说， 那就是： 谁要是能证明黎曼猜想， 他就能不朽——不是抽象意义上的不朽 (那是毫无疑问的)， 而是实际意义上的不朽 (即长生不老)！ 不过这个传说的炮制者看来是没有关怀到玻尔和兰道， 他们的研究成果可比哈达玛和普森的成果强多了， 照说起码也该混个百岁老人当当吧。 结果呢？ 兰道只活了 61 岁， 玻尔稍胜一筹， 也只有 63 岁。 可能是意识到这个传说漏洞太大， 出生于波兰的数学家欧德里兹科 (Andrew Odlyzko) 把幽默指向了另一个方向， 提出了一个完全相反的说法， 那就是： 谁要是否证了黎曼猜想， 他就会立刻死去！ 欧德里兹科甚至开玩笑说其实黎曼猜想已经被否证了， 只不过那个否证了黎曼猜想的倒霉蛋没来得及发表论文就死去了。
当然， 这些都只能作为饭后茶余的谈资而不宜较真。 不过， 一个极度艰深的东西对投入得过于深入的人产生健康方面的影响， 倒并不是毫无可能的。 数学界也确实有人猜测， 黎曼猜想的极度艰深有可能对个别数学家的健康产生过影响。 比如流行传记《美丽心灵》的主角、 美国数学家纳什 (John Nash) 曾在 20 世纪 50 年代后期研究过黎曼猜想， 在那之后不久就患上了精神分裂症。 纳什患病的原因一般认为是参与军方工作引致的心理压力， 但也有人认为他贸然去啃黎曼猜想那样的坚果， 对其病症发展有可能起到过推波助澜的作用。
黎曼猜想可以说是当今数学界最重要、 并且是数学家们最期待解决的数学猜想。 美国数学家蒙哥马利 (Hugh Montgomery) 曾经表示， 如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明， 多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。 在探索黎曼猜想的过程中， 很多数学家曾经满怀信心， 渐渐地却被它的艰深所震动， 态度转为了悲观。 我们前面提到过的李特伍德就是一个例子， 当他还是学生的时候， 他的导师就随手把黎曼 ζ 函数写给了他， 让他利用暑假时间研究其零点位置。 初出茅庐的李特伍德也不当回事地领命而去。 后来他与哈代倒也果真在这方面做出了成果。 但渐渐地， 他的态度发生了变化， 甚至表示： “假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的， 日子会过得更舒适些”。 曾经在 “山寨版” 黎曼猜想研究上做出过成果的法国数学家韦伊 (André Weil) 也有过类似的态度转变。 当他在 “山寨版” 黎曼猜想研究上做出成果时， 曾经与一些其他人一样对解决黎曼猜想燃起了信心， 还表示如果自己证明了黎曼猜想， 会故意推迟到猜想提出 100 周年 (即 1959 年) 时才公布——言下之意， 自己不迟于 1959 年就有可能解决黎曼猜想。 不过， 岁月渐渐磨去了他的乐观， 他晚年时曾对一位友人承认， 自己有生之年不太可能看到黎曼猜想的解决。 就连本文开头提到的那位德国数学大师希尔伯特， 他对黎曼猜想的看法也经历了从乐观到悲观的转变。 在 1919 年的一次演讲中， 希尔伯特曾表示自己有望见到黎曼猜想的解决， 但后来他的态度显著地转为了悲观。 据说有人曾经问他： 如果他能在 500 年后重返人间， 他最想问的问题是什么？ 他回答说是： 是否已经有人解决了黎曼猜想？
接下来， 我们将介绍人们从另一个方向探索黎曼猜想的故事， 我们将会看到， 那里不仅也有故事， 而且还有一些非常出人意料的东西。
四
黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名论文除了有许多 “证明从略” 的地方外， 还有一个很突出的特点， 那就是它虽然反复涉及了黎曼 ζ 函数的非平凡零点， 甚至还提出了与零点分布有关的一系列命题 (包括大名鼎鼎的黎曼猜想)， 却没有举出哪怕一个具体的例子——即没有给出哪怕一个零点的数值。 而且与那些 “证明从略” 的地方并非容易证明同样要命的是， 黎曼不曾给出的那些零点的数值也并非轻易就能计算得了的。 事实上， 直到黎曼那篇论文发表 44 年后的 1903 年， 才有人填补了这方面的空白： 丹麦数学家格兰姆 (G?rgen Gram) 计算出了 15 个零点的数值。 这是人们首次窥视到黎曼 ζ 函数非平凡零点的具体存在。 当然， 那 15 个零点全都位于黎曼猜想所预言的临界线上。
与我们在 第二节 中介绍的理论研究中的层层推进基本平行， 数学家们计算零点的漫长征途， 也呈现出了层层推进的态势。 但这推进过程在起初一段时间里却显得极为缓慢， 直到 1925 年， 才计算出了区区 138 个零点， 而且在那之后陷入了停顿。 为什么会陷入停顿呢？ 原因很简单， 就是当时计算零点的方法比较笨拙， 致使计算量过于巨大。 而当时的计算又全靠手工， 零点数目一多， 计算量就大到了令人难以应付的程度。
既然是计算方法的笨拙使计算陷入了停顿， 那么很显然地， 计算的重新启动需要有新的计算方法。 这新的计算方法在 7 年后的 1932 年终于 “出土” 了——我没有写错， 确实是 “出土”， 因为它是从早已去世了的黎曼的手稿中 “挖” 出来的！
黎曼那个时代的一些著名数学家有一个今天的数学家们很少效仿、 今天的读者很难理解的特点， 那就是常常不发表自己的研究成果。 由于这个特点， 那些数学家的手稿有着比普通名人用品所具有的单纯的猎奇价值重要得多的意义， 因为从中有可能发现一些他们未曾发表过的研究成果。 黎曼的手稿就是如此。 不过令人惋惜的是， 黎曼的手稿在他去世后有很大一部分被他的管家付之了一炬， 只有一小部分被他妻子抢救了出来。 在劫后余生的手稿中， 又有一部分被他妻子以涉及私人信息为由 “克扣” 掉了 (其中包括许多几乎通篇都是数学， 只夹带了极少量私人信息的手稿)， 剩下的才是后人真正可以查阅的。 那些可供查阅的手稿被收录于哥廷根大学的图书馆。
不过， 那部分手稿虽然可供查阅， 但只要想想黎曼公开发表的文章尚且如此艰深， 动辄花费后世数学家几十年的时间才能填补空白， 就不难想象研读他的手稿会是什么感觉了。 黎曼的研究领域极为宽广， 手稿中常常诸般论题混杂， 而且几乎没有半句说明。 自黎曼的手稿被存放于哥廷根大学图书馆以来， 陆续有一些数学家及数学史学家慕名前去研究， 但在那极度的艰深晦涩面前， 大都满怀希望而来， 却两手空空而去。 黎曼的手稿就像一本高明的密码本， 牢牢守护着这位伟大数学家的思维奥秘。
但到了 1932 年， 终于有一位数学家从黎曼的手稿中获得了重大发现——发现黎曼不仅亲自计算过若干个零点的数值， 而且还有自己独特的、 直到 “出土” 之日仍遥遥领先于当时数学界的计算方法。 这一发现为黎曼 ζ 函数非平凡零点的计算带来了脱胎换骨般的变化， 让停滞在第 138 个零点上的计算重新启动。 当然， 这一发现也进一步提高了黎曼那原本就已极为崇高的声望， 在很大程度上驱散了一些数学家对黎曼论文中那些 “证明从略” 部分的怀疑。 因为它表明黎曼那篇高度简练的论文只是冰山的尖顶， 在那下面有着大量扎实的研究。 那么， 发现这一切的人是谁呢？ 是黎曼的一位同胞： 德国数学家西格尔 (Carl Ludwig Siegel)。 为了从天书般的黎曼手稿中 “出土” 公式， 西格尔付出了艰辛的努力。 为了表彰他的努力， 人们将这一计算黎曼 ζ 函数非平凡零点的新方法称为了黎曼-西格尔公式 (Riemann–Siegel formula)。
黎曼-西格尔公式的 “出土” 大大推进了零点计算。 在短短几年间， 数学家们就把零点计算推进了一个数量级， 达到了 1000 个以上的零点。 虽然随后爆发的第二次世界大战中断了零点计算， 但战后计算机技术的发展， 又使得零点计算呈现出了井喷势头： 从 1956 年到 1969 年的十几年间， 被计算出的零点数目又推进了好几个数量级， 从 25,000 个推进到了 3,500,000 (350 万) 个。 当然， 所有这些零点也都无一例外地位于黎曼猜想所预言的临界线上。 说到这里顺便提醒读者一下， 我们这里及下文所说的零点计算除早期那些小规模的计算外， 大都只是验证零点是否在临界线上， 而并不计算它们的具体数值。
验证了 350 万个零点全部位于临界线上， 无疑大大增强了数学家们对黎曼猜想的信心。 不过， 不相信的也还是大有人在。 比如德国普朗克数学研究所 (Max Planck Institute for Mathematics) 的一位名叫查基尔 (Don Zagier) 的数学家对这种验证就不以为然。 在他看来， 区区 350 万个零点根本不说明问题。 他的这种不以为然很快遇到了对手： 一位对黎曼猜想深信不疑的铁杆 “粉丝”。 这位 “粉丝” 名叫蓬皮埃利 (Enrico Bombieri)， 是著名的意大利数学家。 两人一个疑心重重、 一个深信不疑， 谁也不服谁。 怎么办呢？ 查基尔提议打赌。 说起来， 其实查基尔对黎曼猜想倒也并非全然不信， 而且也并非一味轻视对零点的数值计算， 他只是觉得 350 万个零点实在太少了， 不足以让他信服。 那么， 要计算多少个零点才能让他信服呢？ 他开出的数目是 3 亿。 于是两人就以这个数目为限订下了赌约： 如果黎曼猜想在前 3 亿个零点中出现反例， 就算查基尔获胜； 反之， 如果黎曼猜想被证明， 或者虽然没被证明， 但在前 3 亿个零点中没有出现反例， 则算蓬皮埃利获胜。 赌注为两瓶葡萄酒。
初看起来， 相对于已经计算出的 350 万个零点来说， 查基尔的 3 亿个零点简直就是 “狮子大开口”， 查基尔自己也估计这个赌局也许要花上 30 年的时间才能分出胜负。 可是他显然跟那个时代的多数其他人一样， 大大低估了计算机技术的发展速度。 事实上， 离赌局的设立还不到 10 年， 1979 年， 零点计算就被推进到了 8,100 万个。 不久之后， 又被推进到了两亿个， 距离赌局的终结只剩下了一步之遥， 而形势则对查基尔极为不利——因为那两亿个零点全都位于临界线上。
不过， 计算出那两亿个零点的数学家对查基尔的赌局一无所知， 在计算完两亿个零点后就停了下来， 这一点让查基尔大大地松了一口气。 可惜， 他这口气没能松太久， 因为他的一位朋友恰好访问了那位数学家， 不仅将赌局之事告诉了后者， 还进行了一番鼓动。 后者一听零点计算还有这么重大的意义， 就立刻展开了新的计算， 一鼓作气推进到了 3 亿个零点——当然， 黎曼猜想岿然不动。
查基尔输了， 他兑现诺言买来了两瓶葡萄酒。 蓬皮埃利当场打开其中一瓶与他共饮。 他们喝掉的这瓶葡萄酒用查基尔的话说， 是世界上被喝掉的最昂贵的葡萄酒， 因为正是为了以它为赌注的那个赌局， 数学家们特意多计算了一亿个零点， 为此花费了约 70 万美元的计算经费。 也就是说， 被他们喝掉的这瓶葡萄酒是用 35 万美元的经费换来的！ 喝完了这瓶葡萄酒， 查基尔从此也对黎曼猜想深信不疑了。
在查基尔和蓬皮埃利的赌局之后， 像查基尔那样看重零点计算、 以此决定自己对黎曼猜想信任度的数学家越来越少了； 像验证 3 亿个零点那样愿意把巨额经费投入到零点计算中的人也越来越少了。 不过对零点的计算并没有就此终止。 2001 年， 一位名叫魏德涅夫斯基 (Sebastian Wedeniwski) 的德国研究者创立了一种崭新的计算模式： 分布式计算， 即利用彼此联网的许多台计算机来共同计算零点。 这个分布式计算系统建成之后， 不久就被推向了互联网， 吸引了世界各地大量数学和计算机爱好者的参与， 联网计算机的数目很快就稳定在了 10,000 台以上， 每天计算出的零点数目在 10 亿以上。 至于经费， 则基本可以忽略不计， 因为参与者都是自愿而无偿地贡献出自己的计算资源的。
到了 2004 年末时， 魏德涅夫斯基的分布式计算系统所计算出的零点总数逼近了一个激动人心的数目： 一万亿。 眼看着一次辉煌庆典已指日可待， 不料却从法国传来了一个令人吃惊的消息： 两位法国人完成了对 10 万亿个零点的计算， 比他们翘首期待的一万亿高出了整整一个数量级！ 更令人吃惊的是， 这两位法国人完成这一工作所用的计算资源居然只是几台普通的计算机， 所花费的时间也只有一年多。 此时此刻， 这样的一则消息对于魏德涅夫斯基来说无疑是当头一棒， 结果庆典变成了谢幕， 魏德涅夫斯基在不久之后关闭了整个系统。 此情此景， 犹如九十多年前英国探险家斯科特 (Robert Falcon Scott) 挺进南极的经历： 当他们历经艰辛、 即将抵达南极点时， 却发现挪威探险家阿蒙森 (Roald Amundsen) 已经捷足先登 (斯科特及同伴后来在黯然返回的途中全部遇难)。
两位法国人凭借几台普通计算机一年多的工作， 居然超过了全世界上万台联网计算机几年的工作， 而且超过了整整一个数量级， 这是什么缘故呢？ 是因为他们采用了一种比黎曼-西格尔公式更高明的计算方法。 这一计算方法是出生于波兰的数学家欧德里兹科 (Andrew Odlyzko) 与合作者肖恩哈格 (Arnold Sch?nhage) 于 1988 年所提出的。
五
欧德里兹科为什么会研究零点计算的算法呢？ 这也牵扯到一段故事， 而且是很有意思的故事。 当然， 表面上的原因是跟所有其它从事零点计算的人一样的， 那就是因为他对零点计算很感兴趣。 不过， 他那兴趣的由来跟其他人有所不同， 其他人的兴趣大都来自于对黎曼猜想本身的兴趣， 他却是因为听了美国数学家蒙哥马利 (Hugh Montgomery) 的一个并非直接针对黎曼猜想的研究报告， 才从事零点计算， 并研究零点计算的算法的。 蒙哥马利那个报告所介绍的是一项很独特的研究， 即研究黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的分布规律。 他的研究表明， 在适当的假设——其中包括假设黎曼猜想成立——下， 可以证明黎曼 ζ 函数的非平凡零点在临界线上的分布呈现出一种相互排斥的趋势 (即倾向于彼此远离)， 这个趋势可以用一个不太复杂的数学公式来描述。
蒙哥马利自 20 世纪 70 年代初就开始研究黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的分布规律了。 他发现了规律， 并且因为那规律不太复杂而直觉地感到在其背后应该蕴含着某种玄机。 为了揭开那玄机， 他特意访问了普林斯顿高等研究院。 在那里， 他 “觐见” 了黎曼猜想研究的元老赛尔伯格。 可惜就连赛尔伯格也看不透那规律背后的玄机。 不过， 在高等研究院那样一个名家云集的地方， 随时都有可能出现意想不到的学术交流。 蒙哥马利在最有希望得到信息的赛尔伯格那里不曾得到有价值的信息， 却在高等研究院的茶室里偶遇了一位物理学家。 那位物理学家名叫戴森 (Freeman Dyson)， 是一位研究领域很宽广的人物， 当他在和蒙哥马利的攀谈中获知后者所发现的这个零点在临界线上的分布规律时， 登时就吃了一惊。 因为他想起了自己十多年前的一系列研究。 那些研究跟黎曼 ζ 函数的非平凡零点没有半点关系， 但在那些研究中， 他却得到过同样的分布规律！
戴森十多年前所研究的是什么呢？ 是从一些极为复杂的物理体系——比如复杂原子核——中抽象出来的问题。 处理那种问题所用的是一类特殊的统计物理手段， 而其中一个典型的课题则是研究复杂体系中能量的分布——物理学家们称之为能级分布。 戴森曾经得到过那种分布的具体形式， 它除了可以描述能级外， 还出现在了许多其它复杂的物理现象中。 而现在， 从蒙哥马利所从事的纯数学研究中， 他居然再次见到了同样的分布， 这实在是大大出乎他意料的事情。
几年之后， 蒙哥马利再次来到普林斯顿， 并作了一次研究报告——即欧德里兹科所听到的报告。 在报告中， 他除了介绍自己的研究外， 还提到了他和戴森所发现的这种数学与物理之间的奇怪联系。 这一切引起了欧德里兹科的浓厚兴趣， 使他决定通过大规模零点计算来验证蒙哥马利所发现的零点在临界线上的分布规律。 从 20 世纪 80 年代末到 90 年代初， 欧德里兹科利用他和合作者肖恩哈格所提出的新算法， 完成了几批大规模的零点计算， 结果非常漂亮的证实了蒙哥马利所提出的零点在临界线上的分布规律。 考虑到蒙哥马利的结果是在假设黎曼猜想成立的基础上得到的， 因此这种证实也可以在一定程度上被视为是对黎曼猜想的间接支持。
不过， 所有这些都没有解决一个最根本的问题， 那就是像黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的分布这样最纯粹的数学性质， 为什么会跟像复杂原子核的能级分布那样最现实的物理现象扯上关系？ 这种神奇的关联本身又预示着什么呢？ 这两个问题直到今天也没有完全的答案。 但有意思的是， 在半个多世纪前， 却有两位数学家曾经提出过一个猜想——一个与蒙哥马利、 戴森、 欧德里兹科所发现并证实的这种数学与物理间近乎离奇的联系遥相呼应的猜想。 那两位数学家的名字我们在前文中曾经提到过， 一位是希尔伯特， 一位是波利亚， 那个猜想则被称为希尔伯特-波利亚猜想， 它是对黎曼 ζ 函数非平凡零点分布的猜测， 其中赫然包括了猜测它们与某个物理体系的能级相对应的可能性！
不过这个希尔伯特-波利亚猜想本身也颇有一些离奇的地方， 因为当人们因蒙哥马利、 戴森、 欧德里兹科的研究而对它发生兴趣， 试图追溯它的起源时， 却惊讶地发现无论希尔伯特还是波利亚， 居然都不曾在任何文字之中述及过这个猜想。 难道这个猜想根本就是子虚乌有的传说？ 幸运的是， 94 岁高龄的当事人波利亚那时仍健在， 他在一封信件中以个人回忆的方式肯定了这一猜想的存在性。 但早已去世的希尔伯特在什么场合下提出过这一猜想， 却很可能将成为数学史上一个永久的谜团了。
六
介绍了这许多有关黎曼猜想的研究， 有一个问题想必很多读者都会关心， 那就是黎曼猜想的终极命运将会如何？ 它是会被证明呢？ 还是会被推翻 (否证)？ 对于这个有关黎曼猜想 “前途命运” 的大悬念， 数学家们各有各的看法。
有些数学家相信黎曼猜想是对的， 比如那位输掉了葡萄酒的查基尔自赌局告负之后就对黎曼猜想深信不疑。 他相信黎曼猜想的理由很 “纯朴”， 那就是数值证据已经够强了。 读者们想必还记得， 他当时要求的数值证据是 3 亿个零点， 现在的证据已经超过了 10 万亿， 远远超出了他的要求。 因此， 他的相信是有理由的。 不过， 由于零点有无穷多个， 实际上再多的数值证据也是微不足道的。 而且在数学上有过这样的例子， 即一个被否证了的数学命题的数值反例出现在极遥远的地方， 远远超出数值证据所能触及的范围。 黎曼猜想会不会也是如此呢？ 谁也说不准。 当然， 支持黎曼猜想的证据不仅仅来自数值计算， 还有我们介绍过的大量其它研究， 其中包括至少有 40% 的非平凡零点位于临界线上那样颇为可观的结果。 相信黎曼猜想的数学家们也可以从那些方面获得信心。
有些数学家则认为黎曼猜想是错的。 面对黎曼猜想所得到的如此海量的支持， 选择那样的立场当然是要理由的。 这其中一条打不倒的理由就是： 所有支持都不是证明。 确实， 对于像黎曼猜想这样的数学命题来说， 要想证明它成立， 必须 “一个都不能少” 地涵盖所有的零点， 缺一丁点儿都不行。 但反过来， 要想推翻它， 却只要找到一个反例——即一个不在临界线上的非平凡零点——就足够了， 这种繁简程度上的不对称对于怀疑黎曼猜想的数学家们是十分有利的。
除上述两种截然相对的态度外， 黎曼猜想的长期悬而未决还使一些人联想到了所谓的哥德尔不完全性定理 (G?del's incompleteness theorem)， 认为黎曼猜想有可能是一个不能被判定——即既不能被证明， 也不能被否证——的命题。 据说哥德尔 (Kurt G?del) 本人就有过这样的看法。 不过， 黎曼猜想假如不成立， 在原则上是可以用明确的步骤， 通过数值计算找到它的反例， 从而证明其不成立的。 从这个意义上讲， 黎曼猜想假如不成立， 它是可以被判定为不成立的， 而它如果不能被判定， 实际上是表明它成立。
好了， 以上就是对黎曼猜想的简单介绍。 这一介绍因为略去了数学细节而看上去更像是一串故事。 但实际上， 黎曼猜想是一个极为艰深的课题， 如果哪位读者想要啃一啃这个猜想， 首先要有扎实的数学功底， 否则非但啃不动， 还很可能会崩掉牙齿——可别怪我没提醒哦。
二零一二年三月四日写于纽约
二零一二年三月十六日发表于本站